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    title: [概率论],
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    author: [数学主义],
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#title-slide()

#outline-slide()

= 回顾
== 多维随机变量
<多维随机变量>
如果 $X_1 \( omega \) \, X_2 \( omega \) \, dots.h \, X_n \( omega \)$
是定义在同一样本空间 $Omega$ 上的 $n$ 个随机变量，则称
$ upright(bold(X)) \( omega \) = \( X_1 \( omega \) \, X_2 \( omega \) \, dots.h \, X_n \( omega \) \) $
为 #strong[$n$ 维随机变量] 或 #strong[随机向量]。

== 联合分布函数
<联合分布函数>
设 $\( X \, Y \)$ 是二维随机变量。对任意实数 $x \, y$，称
$ F \( x \, y \) = P \( X lt.eq x \, Y lt.eq y \) $ 为 $\( X \, Y \)$ 的
#strong[联合分布函数]。

- 这是事件 ${ X lt.eq x }$ 与 ${ Y lt.eq y }$ 同时发生的概率；

- 可以类比"地图上某区域的人口占比"、"铁板上某区域的重量占比"、"左下低、右上高的地形图"。

== 边际分布函数
<边际分布函数>
我们定义$X$ 的#strong[边际分布函数]为：
$ F_X \( x \) := lim_(y arrow.r + oo) F \( x \, y \) = F \( x \, + oo \) . $

同理，
$ F_Y \( y \) := lim_(x arrow.r + oo) F \( x \, y \) = F \( + oo \, y \) . $

#strong[注]：这里的 $F \( x \, + oo \)$ 是一种简写，严格来说应理解为极限
$lim_(y arrow.r + oo) F \( x \, y \)$。

== 联合密度函数
<联合密度函数>
如果存在二元非负函数 $p \( x \, y \)$，使得
$ F \( x \, y \) = integral_(- oo)^x integral_(- oo)^y p \( u \, v \) thin d v thin d u \, $
则称 $\( X \, Y \)$ 为 #strong[二维连续随机变量]，称 $p \( x \, y \)$
为它的 #strong[联合概率密度函数]。

- 可以想象为"热力图"：越亮的地方，$\( X \, Y \)$ 越可能出现在那里。

- 可以类比"地图上的人口密度"、"不均匀铁板的密度分布"。

---

若 $G$ 是平面上的区域，则
$ P \( \( X \, Y \) in G \) = integral.double_G p \( x \, y \) thin d x thin d y . $

== 从联合密度函数求边际密度函数
<从联合密度函数求边际密度函数>
如果 $\( X \, Y \)$ 是连续型随机变量，且有联合密度函数
$p \( x \, y \)$，那么我们可以对另一个变量积分，得到边际密度：

$ p_X \( x \) & = integral_(- oo)^oo p \( x \, y \) thin d y\
p_Y \( y \) & = integral_(- oo)^oo p \( x \, y \) thin d x $

#strong[直观理解：] 把 $p \( x \, y \)$
看成一个"三维地形图"，$p_X \( x \)$ 就是沿着 $y$
方向"切片"后对高度积分的结果，相当于"压扁"了 $y$ 维度。

== 随机变量独立
<随机变量独立>

设 $\( X \, Y \)$
是二维随机变量，若对任意实数 $a \, b \, c \, d$，都有：
$ P \( a < X < b \, med c < Y < d \) = P \( a < X < b \) dot.op P \( c < Y < d \) $
则称 $X$ 与 $Y$ #strong[相互独立]。

#strong[解释：]知道 $X$ 在某个范围内取值，不会改变你对 $Y$ 取值的预测。

== 判断独立性的三种方法
<判断独立性的三种方法>
+ 联合分布函数满足： $ F \( x \, y \) = F_X \( x \) F_Y \( y \) $

+ 离散型：联合分布列对任意 $i \, j$ 满足 $ p_(i j) = p_i p_j $

+ 连续型：联合密度函数满足 $ p \( x \, y \) = p_X \( x \) p_Y \( y \) $

只要能写成"联合 = 边际 × 边际"的形式，就独立！

== 本次课的目的

如果有两个或更多随机变量，把它们的信息综合起来形成一个新的随机变量，那么这个新变量的分布是什么？

本次课我们将系统地学习如何求解这类问题：

- 如何求两个独立随机变量之和的分布？

- 如何求积、商、线性组合等函数的分布？

- 证明一些常见分布的可加性。

= 卷积公式
---
现在我们考虑两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，我们想知道它们的和
$Z = X + Y$ 的分布。

这个问题在现实中非常常见。比如：你每周花 $X$ 分钟做实变函数的作业，花
$Y$ 分钟做概率论的作业，那么每周总共花 $Z = X + Y$
分钟做这两门课的作业。$Z$ 的分布是怎样的呢？

== 离散情形：二项分布的可加性
<离散情形二项分布的可加性>
=== 0-1 分布（伯努利分布）
<分布伯努利分布>
这是最简单的离散分布。它描述的是一个只有两种结果的试验的成功次数，比如：

- 抛一枚硬币：正面为1，反面为0；
- 一次考试是否通过：通过为1，未通过为0；
- 今天是否下雨：下为1，不下为0。

设 $X tilde.op b \( 1 \, p \)$，则：
$ P \( X = 1 \) = p \, quad P \( X = 0 \) = 1 - p . $

=== 二项分布 $b \( n \, p \)$
<二项分布-bnp>
如果做 $n$ 次独立重复的 0-1 试验，每次成功概率为 $p$，记成功的次数为
$X$，则 $X tilde.op b \( n \, p \)$。

例如：你连续抛硬币 10 次，正面朝上的次数服从 $b \( 10 \, 0.5 \)$。

其分布列为：
$ P \( X = k \) = binom(n, k) p^k \( 1 - p \)^(n - k) \, quad k = 0 \, 1 \, dots.h \, n . $

=== 二项分布的可加性
<二项分布的可加性>
设 $X tilde.op b \( n \, p \) \, med Y tilde.op b \( m \, p \)$，且 $X$
与 $Y$ 相互独立。我们来证明 $Z = X + Y tilde.op b \( n + m \, p \)$。

#strong[直观想象：] 想象你有两组独立的实验，第一组做了 $n$
次，第二组做了 $m$ 次，每次成功的概率都是
$p$。那么总的"成功次数"就是两组的成功数之和。因为所有实验都是一样的（相同成功概率），所以总成功次数相当于做了
$n + m$ 次独立实验，每次成功概率仍为 $p$。因此总和仍服从二项分布！

---

#strong[数学证明：]

由于 $X$ 和 $Y$ 独立，我们可以利用离散场合下的#strong[卷积公式]：
$ P \( Z = k \) = sum_(i = 0)^k P \( X = i \) P \( Y = k - i \) $
注意这里只对合理的 $i$ 求和，即 $i lt.eq n$ 且
$k - i lt.eq m$，所以实际范围是：
$ i in \[ max \( 0 \, k - m \) \, min \( n \, k \) \] $

代入二项分布的分布列：
$ P \( Z = k \) &= sum_(i = 0)^k P \( X = i \) P \( Y = k - i \) \
&= sum_(i = a)^b binom(n, i) p^i \( 1 - p \)^(n - i) dot.op binom(m, k - i) p^(k - i) \( 1 - p \)^(m - \( k - i \)) \ &= p^k \( 1 - p \)^(n + m - k) sum_(i = a)^b binom(n, i) binom(m, k - i) $
---
利用组合恒等式： $ sum_i binom(n, i) binom(m, k - i) = binom(n + m, k) $

可得 $ P \( Z = k \) &= p^k \( 1 - p \)^(n + m - k) sum_(i = a)^b binom(n, i) binom(m, k - i)\ &= binom(n + m, k) p^k \( 1 - p \)^(n + m - k) $

因此，
$Z tilde.op b \( n + m \, p \)$.

#strong[推广：] 任意有限个相互独立、同参数 $p$
的二项分布变量之和仍为二项分布：
$ b \( n_1 \, p \) * b \( n_2 \, p \) * dots.h.c * b \( n_k \, p \) = b \( n_1 + n_2 + dots.h.c + n_k \, p \) $

特别地，当每个 $n_i = 1$ 时，就是 $k$ 个独立的 0-1 分布相加，得到
$b \( k \, p \)$.

== 离散情形：泊松分布的可加性
<离散情形泊松分布的可加性>
泊松分布 $P \( lambda \)$ 常用于描述单位时间内发生的事件次数，比如：

- 某网站每分钟收到的访问请求数；
- 某医院每天接诊的急诊病人数量；
- 某条高速公路上每小时经过的车辆数。

若 $X tilde.op P \( lambda \)$，则：
$ P \( X = k \) = frac(lambda^k, k !) e^(- lambda) \, quad k = 0 \, 1 \, 2 \, dots.h $

其中 $lambda > 0$ 是平均发生率。

---

设
$X tilde.op P \( lambda_1 \) \, med Y tilde.op P \( lambda_2 \)$，并且是独立的随机变量。我们来证明：$Z = X + Y tilde.op P \( lambda_1 + lambda_2 \)$。

#strong[直观想象：] 假设某医院 A 每天平均接诊 $lambda_1$
名急诊患者，医院 B 接诊 $lambda_2$
名。如果这两个医院的数据合并统计，那么每天总急诊人数的期望应该是
$lambda_1 + lambda_2$。而且由于事件是独立发生的，整体上仍然符合泊松过程的特点（稀疏、独立、无记忆）。所以总人数也应服从泊松分布！

---

#strong[数学证明：]

同样用卷积公式：
$ P \( Z = k \) &= sum_(i = 0)^k P \( X = i \) P \( Y = k - i \) = sum_(i = 0)^k frac(lambda_1^i, i !) e^(- lambda_1) dot.op frac(lambda_2^(k - i), \( k - i \) !) e^(- lambda_2) \
&= e^(- \( lambda_1 + lambda_2 \)) frac(1, k !) sum_(i = 0)^k binom(k, i) lambda_1^i lambda_2^(k - i) = e^(- \( lambda_1 + lambda_2 \)) frac(\( lambda_1 + lambda_2 \)^k, k !) $

即 $Z tilde.op P \( lambda_1 + lambda_2 \)$。

#strong[推广：]
$ P \( lambda_1 \) * P \( lambda_2 \) * dots.h.c * P \( lambda_n \) = P \( lambda_1 + lambda_2 + dots.h.c + lambda_n \) $

== 连续版本的卷积公式
<连续版本的卷积公式>
对于连续型随机变量，我们没有分布列，要用密度函数。需要连续版本的*卷积公式*：

设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的连续随机变量，密度函数分别为 $p_X \( x \)$
和 $p_Y \( y \)$，则 $Z = X + Y$ 的密度函数为：
$ p_Z \( z \) = integral_(- oo)^oo p_X \( z - y \) p_Y \( y \) thin d y = integral_(- oo)^oo p_X \( x \) p_Y \( z - x \) thin d x $

---
$Z = X + Y$ 的密度函数为：
$ p_Z \( z \) = integral_(- oo)^oo p_X \( z - y \) p_Y \( y \) thin d y = integral_(- oo)^oo p_X \( x \) p_Y \( z - x \) thin d x $

#strong[直观解释：] 你可以把 $Z = X + Y$
看作"滑动窗口"。（在允许相差一个无穷小的意义下）固定 $z$，你想知道
$X + Y = z$ 的可能性有多大。这取决于所有可能的 $\( x \, y \)$ 对
$x + y = z$ 的联合贡献。每个 $x$ 对应一个 $y = z - x$，其联合密度为
$p_X \( x \) p_Y \( z - x \)$，然后对所有 $x$ 积分。

== 卷积公式的推导
<卷积公式的推导>
现在我们来严格推导：如果 $X$ 和 $Y$
是两个相互独立的连续型随机变量，那么它们的和 $Z = X + Y$
的概率密度函数是什么？

#strong[目标：] 找到 $p_Z \( z \)$。

#strong[思路：] 先求分布函数
$F_Z \( z \) = P \( Z lt.eq z \) = P \( X + Y lt.eq z \)$，再对 $z$
求导得到密度函数。

---

因为 $X$ 与 $Y$ 独立，它们的联合密度为：
$ p_(X \, Y) \( x \, y \) = p_X \( x \) thin p_Y \( y \) . $

于是：
$ F_Z \( z \) = P \( X + Y lt.eq z \) = integral.double_(x + y lt.eq z) p_X \( x \) p_Y \( y \) thin d x thin d y . $

我们可以将这个二重积分转化为累次积分。固定 $y$，则
$x lt.eq z - y$，所以：
$ F_Z \( z \) &= integral.double_(x + y lt.eq z) p_X \( x \) p_Y \( y \) thin d x thin d y \ &= integral_(- oo)^oo [integral_(- oo)^(z - y) p_X \( x \) thin d x] p_Y \( y \) thin d y \ &= integral_(- oo)^oo F_X \( z - y \) thin p_Y \( y \) thin d y \, $
其中 $F_X$ 是 $X$ 的分布函数。

现在对 $F_Z \( z \)$ 关于 $z$
求导，利用莱布尼茨积分法则（可以在积分号下求导，因为被积函数足够光滑）：
$ p_Z \( z \) = frac(d, d z) F_Z \( z \) = integral_(- oo)^oo frac(d, d z) F_X \( z - y \) thin p_Y \( y \) thin d y . $

注意到： $ frac(d, d z) F_X \( z - y \) = p_X \( z - y \) \, $
因为密度函数是分布函数的导数。

因此：
$ p_Z \( z \) &= integral_(- oo)^oo frac(d, d z) F_X \( z - y \) thin p_Y \( y \) thin d y \ &= integral_(- oo)^oo p_X \( z - y \) thin p_Y \( y \) thin d y . $

这就是#strong[卷积公式]。也可以写成：
$ p_Z \( z \) = integral_(- oo)^oo p_X \( x \) thin p_Y \( z - x \) thin d x . $

---

$ p_Z \( z \) = integral_(- oo)^oo p_X \( z - y \) thin p_Y \( y \) thin d y . $

#strong[直观理解：] 要得到总和等于 $z$
的"可能性"，我们需要把所有可能的组合 $\( x \, y \)$ 加起来，只要满足
$x + y = z$。对于每一个固定的 $y$，$x$ 必须是 $z - y$，其联合"权重"就是
$p_X \( z - y \) p_Y \( y \)$，然后对所有 $y$
求和（积分）。这就像把一个分布"滑过"另一个分布，每一步都记录重叠部分的乘积，最后得到一个新的形状，这就是"卷积"的图像含义。

== 正态分布的可加性
<正态分布的可加性>
设
$X tilde.op N \( mu_1 \, sigma_1^2 \) \, med Y tilde.op N \( mu_2 \, sigma_2^2 \)$，而且是独立的随机变量。那么
$Z = X + Y tilde.op N \( mu_1 + mu_2 \, sigma_1^2 + sigma_2^2 \)$。

#strong[直观想象：]
假设你有两个不同的测量误差源，一个是仪器误差，一个是人为读数误差。两者都服从正态分布。当你把它们加在一起时，总的误差仍然是正态分布，只是均值相加，方差相加。但是"方差相加"这一点并不显然。

---

== 为什么独立随机变量相加时，方差是相加的？
<为什么独立随机变量相加时方差是相加的>
均值相加很好理解（数学期望具有线性性），但为什么方差也能直接相加？这看起来并不显然。

我们先回忆方差的定义：

$ "Var" \( Z \) = E #scale(x: 120%, y: 120%)[\[] \( Z - E \[ Z \] \)^2 #scale(x: 120%, y: 120%)[\]] \, $

它衡量的是随机变量围绕其#strong[自身(加权)平均值]的波动大小。

现在设 $Z = X + Y$，其中 $X$ 与 $Y$ 相互独立。那么总均值为

$ E \[ Z \] = E \[ X \] + E \[ Y \] . $

于是总偏差可写为

$ Z - E \[ Z \] = #scale(x: 120%, y: 120%)[\(] X - E \[ X \] #scale(x: 120%, y: 120%)[\)] + #scale(x: 120%, y: 120%)[\(] Y - E \[ Y \] #scale(x: 120%, y: 120%)[\)] . $

为了聚焦"纯随机抖动"，我们引入中心化变量：

$ tilde(X) = X - E \[ X \] \, quad tilde(Y) = Y - E \[ Y \] . $

显然 $E \[ tilde(X) \] = E \[ tilde(Y) \] = 0$，且由于 $X$ 与 $Y$
独立，$tilde(X)$ 与 $tilde(Y)$ 也独立。

此时总方差为

$ "Var" \( Z \) = E #scale(x: 120%, y: 120%)[\[] \( tilde(X) + tilde(Y) \)^2 #scale(x: 120%, y: 120%)[\]] = E \[ tilde(X)^2 \] + 2 E \[ tilde(X) tilde(Y) \] + E \[ tilde(Y)^2 \] . $

因为独立性保证了（下一次课我们会证明这一点）

$ E \[ tilde(X) tilde(Y) \] = E \[ tilde(X) \] thin E \[ tilde(Y) \] = 0 \, $

所以

$ "Var" \( Z \) = E \[ tilde(X)^2 \] + E \[ tilde(Y)^2 \] = "Var" \( X \) + "Var" \( Y \) . $

---

#strong[直观想象：为什么 $E \[ tilde(X) tilde(Y) \] = 0$？]

考虑两个彼此无关的波动：

- $tilde(X)$：今天巴西某只蝴蝶扇动翅膀的频率偏离平均的程度；

- $tilde(Y)$：下个月德克萨斯州的龙卷风的数量偏离平均的程度。
---
因为蝴蝶扇动翅膀和龙卷风毫无关系#strike[蝴蝶效应：这真的对吗？]，所以：

- 有时蝴蝶比较活跃、龙卷风比较多（乘积为正）；

- 有时蝴蝶比较活跃、龙卷风比较少（乘积为负）；

- 有时蝴蝶比较安静、龙卷风比较多（乘积为负）；

- 有时蝴蝶比较安静、龙卷风比较少（乘积为正）。

这四种情况出现的机会差不多，正负乘积相互抵消，长期平均下来，乘积的期望就近似为零。

因此，对于两个独立的、已中心化的随机变量，它们的乘积平均为零：
$ E \[ tilde(X) tilde(Y) \] = 0 . $

---

#strong[方差相加的直观类比：误差的"能量"可以叠加]

- 在物理和工程中，波动或噪声的"强度"常用平方量纲（如声波的能量正比于振幅的平方）。方差正是这种"随机抖动能量"的数学体现。

- 假设你在用手机拍摄视频：手部抖动带来图像偏移（方差
  $sigma_1^2$），而电子传感器噪声带来额外模糊（方差 $sigma_2^2$）。

- 如果这两种扰动彼此无关（独立），那么总的画面不稳定程度（即总方差）就是两者之和。

- 注意：我们说的是"能量"相加，不是"幅度"相加。因此标准差（单位：像素、厘米等）不能直接相加，但方差（单位：像素²、厘米²）可以。

- 这就是为什么在测量、通信、金融风险等领域，#strong[独立来源的不确定性以方差形式叠加]，这是一个深刻而实用的原理。

---

#strong[推广：] 任意 $n$ 个独立正态变量的线性组合仍是正态变量：
$ sum_(i = 1)^n a_i X_i tilde.op N (sum a_i mu_i \, med sum a_i^2 sigma_i^2) $

= 变量变换法
---
上面我们只讨论了和的情况。现在我们想求更一般的函数，比如 $U = X Y$ 或
$U = X \/ Y$。

设 $\( X \, Y \)$ 是二维连续随机变量，联合密度为
$p \( x \, y \)$。我们引入新的变量：
$ u = g_1 \( x \, y \) \, quad v = g_2 \( x \, y \) $
并且假设这个变换是可逆的，有唯一的反函数：
$ x = x \( u \, v \) \, quad y = y \( u \, v \) $

那么新变量 $\( U \, V \)$ 的联合密度为：
$ p_(U \, V) \( u \, v \) = p \( x \( u \, v \) \, y \( u \, v \) \) dot.op \|J\| $
其中 $J$ 是雅可比行列式：
$ J = frac(partial \( x \, y \), partial \( u \, v \)) = mat(delim: "|", frac(partial x, partial u), frac(partial x, partial v); frac(partial y, partial u), frac(partial y, partial v)) $

#strong[为什么要有 $|J|$?]
这其实是二维积分中的变量替换规则。想象你在平面上做坐标变换，面积元素会变形，而
$\|J\|$ 就是面积缩放因子。

---

当我们只想求一个函数 $U = g \( X \, Y \)$
的分布时，可以考虑"增补"一个辅助变量 $V$，比如令
$V = Y$，然后用上面的方法求出 $\( U \, V \)$ 的联合密度，最后对 $v$
积分得到 $U$ 的边缘密度。

== 积的公式
<积的公式>
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，密度分别为 $p_X \( x \)$ 和 $p_Y \( y \)$，则
$U = X Y$ 的密度为：
$ p_U \( u \) = integral_(- oo)^oo p_X (u / v) p_Y \( v \) dot.op frac(1, \| v \|) thin d v $

---

#strong[证明：]

令 $V = Y$，则：
$ u = x y \, quad v = y arrow.r.double x = u / v \, quad y = v $

反函数为： $ x = u / v \, quad y = v $

雅可比行列式：
$ J = mat(delim: "|", frac(partial x, partial u), frac(partial x, partial v); frac(partial y, partial u), frac(partial y, partial v)) = mat(delim: "|", 1 / v, - u / v^2; 0, 1) = 1 / v $

所以联合分布的密度函数是：
$ p \( u \, v \) = p_X (u / v) p_Y \( v \) dot.op lr(|1 / v|) $

对 $v$ 积分得边际分布的密度函数：
$ p_U \( u \) = integral_(- oo)^oo p_X (u / v) p_Y \( v \) dot.op frac(1, \| v \|) thin d v $

== 商的公式
<商的公式>
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，密度分别为 $p_X \( x \)$ 和 $p_Y \( y \)$，则
$U = X \/ Y$ 的密度为：
$ p_U \( u \) = integral_(- oo)^oo p_X \( u v \) p_Y \( v \) dot.op \| v \| thin d v $

---

#strong[证明：]

令 $V = Y$，则：
$ u = x \/ y \, quad v = y arrow.r.double x = u v \, quad y = v $

反函数为： $ x = u v \, quad y = v $

雅可比行列式：
$ J = mat(delim: "|", frac(partial x, partial u), frac(partial x, partial v); frac(partial y, partial u), frac(partial y, partial v)) = mat(delim: "|", v, u; 0, 1) = v $

所以： $ p \( u \, v \) = p_X \( u v \) p_Y \( v \) dot.op \| v \| $

对 $v$ 积分得：
$ p_U \( u \) = integral_(- oo)^oo p_X \( u v \) p_Y \( v \) dot.op \| v \| thin d v $

== 一个特殊例子：正态变量的线性组合
<一个特殊例子正态变量的线性组合>
设 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，都服从 $N \( mu \, sigma^2 \)$。令：
$ U = X + Y \, quad V = X - Y $ 求 $\( U \, V \)$
的联合密度，并判断是否独立。

---

#strong[解：]

变换： $ u = x + y \, quad v = x - y $

反函数： $ x = frac(u + v, 2) \, quad y = frac(u - v, 2) $

雅可比行列式：
$ J = mat(delim: "|", 1 / 2, 1 / 2; 1 / 2, - 1 / 2) = - 1 / 2 arrow.r.double \| J \| = 1 / 2 $

联合密度：
$ p \( u \, v \) = p_X (frac(u + v, 2)) p_Y (frac(u - v, 2)) dot.op 1 / 2 $

代入正态分布的密度函数，化简后得到：
$ p \( u \, v \) = frac(1, 4 pi sigma^2) exp {- frac(\( u - 2 mu \)^2 + v^2, 4 sigma^2)} $

这是一个二元正态分布，且
$U tilde.op N \( 2 mu \, 2 sigma^2 \)$，$V tilde.op N \( 0 \, 2 sigma^2 \)$，且两者独立（因为联合密度函数可分离）。

== 总结
今天我们学习了：

- #strong[可加性]：某些分布（如泊松、二项、正态）在独立变量相加后仍保持原分布形式；

- #strong[卷积公式]：用于计算两个独立随机变量之和的分布；

- #strong[变量变换法]：通过雅可比行列式求一般函数的分布；

- #strong[增补变量法]：求积、商等函数的分布。

#strong[分布的"可加性"是自然界中很多现象稳定性的数学体现]。比如每天的降雨量、网络流量、用户点击数……这些都可以建模为多个小事件的叠加，而总体行为依然遵循熟悉的规律。

